Doctsf (Modèles & Marques)
AnnoncesConsidérant R1 comme étant nul et Vs comme étant égale à l’unité, la
fonction de transfer de V2 par rapport à V1 est
\begin{equation}
{\it H_2}={{\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+
{\it C_1}\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}\,s^2+{\it C_3}+{\it C_1}
}\over{\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+
\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}\,s^2+
{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}}}
\end{equation}
De même, la fonction de transfer de V3 par rapport à V1 est
\begin{equation}
{\it H_3}={{\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+
\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}\,s^2+
{\it C_3}+{\it C_1}}\over{\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}
\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}
\right)\,{\it L_1}\,s^2+{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}}}
\end{equation}
Il apparait, que le dénominateur est le même pour les deux fonctions
de transfert, ce qui indique qu’elles ont les mêmes pôles. Le zero
de ce dénominateur commun, qui constitue donc le pôle de deux
fonctions de transfert, se trouve à
\begin{equation}
s=j\sqrt{{{{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}}\over{\left(\left(
{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+
{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}}}}
\end{equation}
Le zéro du numérateur de V2 se trouve à
\begin{equation}
s=j\sqrt{{{{\it C_3}+{\it C_1}}\over{\left(\left({\it C_3}+
{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+{\it C_1}\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}}}
}
\end{equation}
tandis que le zéro du numérateur de V3 se trouve à
\begin{equation}
s=j\sqrt{{{{\it C_3}+{\it C_1}}\over{\left(\left({\it C_3}+
{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,
{\it C_3}\right)\,{\it L_1}}}}
\end{equation}
d’où il apparait que C2 n’a d’influence que sur le zéro du numérateur
de V3, mais n’exerce aucune influence sur le numérateur de V2. C2
influence pourtant le pôle. À la fréquence nulle, l’amplitude de V2
et de V3 est la même, soit
\begin{equation}
{{{\it C_3}+{\it C_1}}\over{{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}}}
\end{equation}
La moyenne géométrique des deux zéros se trouve à
\begin{equation}
\omega={{{\it L_1}{\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)}\,\sqrt{\left(\left(
{\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+{\it C_1}\,{\it C_3}\right)\,
\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+
{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)}\,{}}\over{\left(
\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+{\it C_1}\,{\it C_3}
\right)\,\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left(
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}^2}}
\end{equation}
Pour un signal égal à l’unité en V1, l’amplitude de V2 est
\begin{equation}
{\left|{s^2\,\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+{\it C_1}
\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}+{\it C_3}+{\it C_1}}\right|\over\left|{s^2\,\left(
\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left(
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}+{\it C_3}+
{\it C_2}+{\it C_1}}\right|}
\end{equation}
ce qui peut aussi être exprimé par
\begin{equation}
{{\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+{\it C_1}\,
{\it C_3}\right)\,{\it L_1}\,\omega^2-{\it C_3}-{\it C_1}}\over{
\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left(
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}\,\omega^2-
{\it C_3}-{\it C_2}-{\it C_1}}}
\end{equation}
ou bien encore, si l’on désire extraire le facteur~K, comme on le fait
habituellement, par
\begin{equation}
{{\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+{\it C_1}\,
{\it C_3}\right)\,\left({{{\it C_3}+{\it C_1}}\over{\left(\left(
{\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+{\it C_1}\,{\it C_3}\right)\,
{\it L_1}}}+s^2\right)}\over{\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+
{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,
{\it C_3}\right)\,\left({{{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}}\over{\left(
\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left(
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}}}+s^2\right)
}}\end{equation}
tandis que l’amplitude de V3 est
\begin{equation}
{\left|{s^2\,\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left(
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}+{\it C_3}+
{\it C_1}}\right|\over\left|{s^2\,\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}
\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}
\right)\,{\it L_1}+{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}}\right|}
\end{equation}
ce qui peut aussi être exprimé par
\begin{equation}
{{\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}
+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}\,\omega^2-{\it C_3}-
{\it C_1}}\over{\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,
{\it C_4}+\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,
{\it L_1}\,\omega^2-{\it C_3}-{\it C_2}-{\it C_1}}}
\end{equation}
ou bien encore, avec le facteur~K séparé, par
\begin{equation}
{{\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}
+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,\left({{{\it C_3}+{\it C_1}
}\over{\left(\left({\it C_3}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left(
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}}}+s^2\right)
}\over{\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+
\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,\left({{
{\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}}\over{\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+
{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,
{\it C_3}\right)\,{\it L_1}}}+s^2\right)}}
\end{equation}
La dérivé de V2 est
\begin{equation}
{{2\,\omega\,{\it C_2}\,{\it C_3}^2\,{\it L_1}}\over{\left(\omega^2
\,\left(\left({\it C_3}+{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left(
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}-{\it C_3}-
{\it C_2}-{\it C_1}\right)^2}}
\end{equation}
tandis que la dérivé de V3 est
\begin{equation}
-{{2\,\omega\,{\it C_2}\,\left({\it C_2}+{\it C_1}\right)\,
{\it C_3}\,{\it L_1}}\over{\left(\omega^2\,\left(\left({\it C_3}+
{\it C_2}+{\it C_1}\right)\,{\it C_4}+\left({\it C_2}+{\it C_1}
\right)\,{\it C_3}\right)\,{\it L_1}-{\it C_3}-{\it C_2}-{\it C_1}
\right)^2}}
\end{equation}
L’amplitude de V2 est au minimum à
\begin{equation}
s=\sqrt{{{-{\it C_3}-{\it C_1}}\over{{\it C_3}\,{\it C_4}\,
{\it L_1}+{\it C_1}\,{\it C_4}\,{\it L_1}+{\it C_1}\,{\it C_3}\,
{\it L_1}}}}
\end{equation}
et cette amplitude est alors nulle, tandis que l’amplitude de V3
est alors de
\begin{equation}
{{{\it C_3}+{\it C_1}}\over{{\it C_3}}}
\end{equation}
L’amplitude de V3 est au minimum à
\begin{equation}
s=\sqrt{{{-{\it C_3}-{\it C_1}}\over{{\it C_3}\,{\it C_4}\,
{\it L_1}+{\it C_1}\,{\it C_4}\,{\it L_1}+{\it C_2}\,{\it C_3}\,
{\it L_1}+{\it C_1}\,{\it C_3}\,{\it L_1}}}}
\end{equation}
et cette amplitude est alors nulle, tandis que l’amplitude de V2
est alors de
\begin{equation}
{{{\it C_3}+{\it C_1}}\over{{\it C_2}+{\it C_1}}}
\end{equation}
